Question

【題目】如圖，在矩形中，，，動點P以的速度從A點出發，沿向C點移動，同時動點Q以的速度從點C出發，沿向點B移動，設P、Q兩點移動的時間為t秒．

（1）t為多少時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似？

（2）在P、Q兩點移動過程中，四邊形與的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t為或時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似；（2）四邊形與的面積不能相等，理由見解析．

【解析】

（1）先利用勾股定理計算出AC=10，由于∠PCQ=∠ACB，根據三角形相似的判定，當∠PQC=∠B時可判斷CQP∽△CBA，利用相似比得到 ；當∠PQC=∠BAC時可判斷△CQP∽△CAB，利用相似比得到，然后分別解方程求出t的值即可；
（2）作PQ⊥BC于H，如圖，先證明△CPH∽△CAB，利用相似比可得到PH=，再利用四邊形ABQP與△CPQ的面積相等得到S△ABC=2S△CPQ，利用三角形面積公式得到268，然后解關于t的方程可判斷四邊形ABQP與△CPQ的面積能否相等．

（1）在R中，，

∵，

∴當時，，則，即，解得；

當時，，則，即，解得；

∴t為或時，以P、Q、C為頂點的三角形與相似；

（2）四邊形與的面積不能相等．

理由如下：

作于H，如圖，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

當四邊形與的面積相等時，

，即，

∴，

整理得，此時方程無實數解，

∴四邊形與的面積不能相等．