Question

【題目】（重溫舊知）圓內接四邊形的內角具有特殊的性質.

如圖①，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，若AB＝BD，∠ABD＝50°，則∠BCD＝_______°.

（提出問題）圓內接四邊形的邊會有特殊性質嗎？

如圖②，某數學興趣小組進行深入研究發現：ABCD+BCDA=ACBD，請按他們的思路繼續完成證明.

證明：如圖③，作∠BAE＝∠CAD，交BD于點E.

∵∠BAE＝∠CAD，∠ABD＝∠ACD，

∴△ABE∽△ACD，

∴ 即ABCD＝ACBE

（應用遷移）如圖，已知等邊△ABC外接圓⊙O，點P為上一點，且PB=，PC=1，求PA的長．

Answer 1

【答案】115

【解析】分析：(1)、根據圓內角四邊形的對角互補以及等腰三角形的性質得出答案；(2)、根據題意得出△ABC和△AED相似，從而得出ADBC＝ACDE，從而根據ABCD+ADBC＝ACBE+ACDE得出答案；(3)、根據(2)得出PBAC+PCAB=PABC，根據等邊三角形的性質得出（PB+PC）BC= PABC，從而得出答案．

詳解：（1）115

（2）證明：如圖3，

∵∠BAE＝∠CAD ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAD+∠CAE，即∠BAC＝∠DAE，

又∵∠ACB＝∠ADB，∴△ABC∽△AED，∴，即ADBC＝ACDE ，

∴ABCD+ADBC＝ACBE+ACDE， ∴ABCD+BCDA=ACBD，

（3）由（2）可知PBAC+PCAB=PABC

∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC，∴（PB+PC）BC= PABC，

∴PB+PC= PA即PA=+1.