Question

【題目】如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90，D為BC邊上的中點，DE⊥AB，垂足為點E，過點B作BF∥AC交DE的延長線于點F，連接CF．

（1）求證：AD⊥CF；

（2）連接AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1） 答案見解析；（2） 答案見解析

【解析】試題分析：

（1）由已知條件證：∠BDE=∠BFE=45°，從而可得：BF=BD，結合點D是CB的中點，可得BF=BD=CD；然后結合已知條件證：△ACD≌△CBF，從而可得：∠CAD=∠BCF，結合∠CAD+∠CDA=90，可得∠BCF+∠CDA=90，這樣就可得：∠AGC=90，從而可得：AD⊥CF；

（2）由（1）中BF=BD結合DE⊥AB可證：AB垂直平分DF，由此可得：AD=AF；由△ACD≌△CBF可得：AD=CF；兩者結合可得：AF=CF，因此△ACF是等腰三角形.

試題解析：

(1)∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90 ，

∴∠CBA=45，AC=BC .

又∵BF//AC, ∠ACB=90,

∴∠FBC=90 ，

∴∠FBE=45.

又∵DE⊥AB，

∴∠BFE=45°，∠BDE=45°，

∴∠BFE=∠BDE，

∴BF=BD ，

∵D為BC的中點，

∴BD=CD,

∴ BF=CD.

在△ACD和△CBF中， ,

∴ △ACD≌△CBF，

∴∠CAD=∠BCF，

又∵ ∠CAD+∠CDA=90，

∴∠BCF+∠CDA=90，

∴∠AGC=90，即AD⊥CF .

(2)△ACF是等腰三角形，理由如下：

由（1）可知：△ACD≌△CBF；BD=BF，DEAB，

∴CF=AD；DE=FE，

∴AB垂直平分DF，

∴AD=AF，

∴AF=CF ,

∴△ACF是等腰三角形．