Question

【題目】（1）一個兩位正整數，a表示十位上的數字，b表示個位上的數字（a≠b，ab≠0），則這個兩位數用多項式表示為　 　（含a、b的式子）；若把十位、個位上的數字互換位置得到一個新兩位數，則這兩個兩位數的和一定能被　 　整除，這兩個兩位數的差一定能被　 　整除.

（2）一個三位正整數F，各個數位上的數字互不相同且都不為0．若從它的百位、十位、個位上的數字中任意選擇兩個數字組成6個不同的兩位數．若這6個兩位數的和等于這個三位數本身，則稱這樣的三位數F為“友好數”，例如：132是“友好數”.

一個三位正整數P，各個數位上的數字互不相同且都不為0，若它的十位數字等于百位數字與個位數字的和，則稱這樣的三位數P為“和平數”；

①直接判斷123是不是“友好數”？

②直接寫出共有　 　個“和平數”；

③通過列方程的方法求出既是“和平數”又是“友好數”的數．

Answer 1

【答案】(1) 10a+b，11，9；(2) ①123不是“友好數”，理由見解析；②32；③既是“和平數”又是“友好數”的數是396，264，132．

【解析】

（1）分別求出兩數的和與兩數的差即可得到結論；

（2）①根據“友好數”的定義判斷即可；

②根據“和平數”的定義列舉出所有的“和平數”即可；

③設三位數既是“和平數”又是“友好數”，根據“和平數”的定義，得出y＝x+z．再由“友好數”的定義，得出10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，化簡即為12y＝78x﹣21z．把y＝x+z代入，整理得出z＝2x，然后從②的數字中挑選出符合要求的數即可.

(1)這個兩位數用多項式表示為10a+b，

（10a+b）+（10b+a）＝10a+b+10b+a＝11a+11b＝11（a+b），

∵11（a+b）÷11＝a+b（整數），

∴這個兩位數的和一定能被數11整除；

（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b），

∵9（a﹣b）÷9＝a﹣b（整數），

∴這兩個兩位數的差一定能被數9整除，

故答案為：11，9；

(2)①123不是“友好數”．理由如下：

∵12+21+13+31+23+32＝132≠123，

∴123不是“友好數”；

②十位數字是9的“和平數”有198，297，396，495，594，693，792，891，一個8個；

十位數字是8的“和平數”有187，286，385，584，682，781，一個6個；

十位數字是7的“和平數”有176，275，374，473，572，671，一個6個；

十位數字是6的“和平數”有165，264，462，561，一個4個；

十位數字是5的“和平數”有154，253，352，451，一個4個；

十位數字是4的“和平數”有143，341，一個2個；

十位數字是3的“和平數”有132，231，一個2個；

所以，“和平數”一共有8+（6+4+2）×2＝32個．

故答案為32；

③設三位數既是“和平數”又是“友好數”，

∵三位數是“和平數”，

∴y＝x+z．

∵是“友好數”，

∴10x+y+10y+x+10x+z+10z+x+10y+z+10z+y＝100x+10y+z，

∴22x+22y+22z＝100x+10y+z，

∴12y＝78x﹣21z．

把y＝x+z代入，得12x+12z＝78x﹣21z，

∴33z＝66x，

∴z＝2x，

由②可知，既是“和平數”又是“友好數”的數是396，264，132．