Question

【題目】如圖，已知是的外接圓，AB是的直徑，D是AB延長線的一點， 交DC的延長線于 于F，且．

求證：DE是的切線；

若，求AE和BC的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ，

【解析】試題分析：（1）要證DE是⊙O的切線，只要連接OC，再證∠DCO=90°即可；

（2）先證明∠D=30°，∠COD=60°，得到AE的長，通過證明△OBC是等邊三角形，得到BC的長．

試題解析：證明：（1）連接OC．∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，∴∠1=∠2．

∵OA=OC，∴∠2=∠3，∠1=∠3，∴OC∥AE，∴OC⊥CD，∴DE是⊙O的切線．

（2）∵AB=6，∴OB=OC=AB=3．

在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OC=3，∴∠D=30°，∠COD=60°．

在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，∴AE=AD=．

在△OBC中，∵∠COD=60°，OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=3．