Question

【題目】閱讀下列材料，完成任務：

自相似圖形

定義：若某個圖形可分割為若干個都與它相似的圖形，則稱這個圖形是自相似圖形．例如：正方形ABCD中，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA邊的中點，連接EG，HF交于點O，易知分割成的四個四邊形AEOH、EBFO、OFCG、HOGD均為正方形，且與原正方形相似，故正方形是自相似圖形．

任務：

（1）圖1中正方形ABCD分割成的四個小正方形中，每個正方形與原正方形的相似比為　 　；

（2）如圖2，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，小明發現△ABC也是“自相似圖形”，他的思路是：過點C作CD⊥AB于點D，則CD將△ABC分割成2個與它自己相似的小直角三角形．已知△ACD∽△ABC，則△ACD與△ABC的相似比為　 　；

（3）現有一個矩形ABCD是自相似圖形，其中長AD=a，寬AB=b（a＞b）．

請從下列A、B兩題中任選一條作答：我選擇　 　題．

A：①如圖3﹣1，若將矩形ABCD縱向分割成兩個全等矩形，且與原矩形都相似，則a=　 　（用含b的式子表示）；

②如圖3﹣2若將矩形ABCD縱向分割成n個全等矩形，且與原矩形都相似，則a=　 　（用含n，b的式子表示）；

B：①如圖4﹣1，若將矩形ABCD先縱向分割出2個全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成3個全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=　 　（用含b的式子表示）；

②如圖4﹣2，若將矩形ABCD先縱向分割出m個全等矩形，再將剩余的部分橫向分割成n個全等矩形，且分割得到的矩形與原矩形都相似，則a=　 　（用含m，n，b的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）A、①；② ；B、①或；②或．

【解析】試題分析：（1）根據相似比的定義求解即可；（2）由勾股定理求得AB=5，根據相似比等于可求得答案；（3）A.①由矩形ABEF∽矩形FECD，列出比例式整理可得；②由每個小矩形都是全等的，可得其邊長為b和a，列出比例式整理即可；B.①分當FM是矩形DFMN的長時和當DF是矩形DFMN的長時兩種情況，根據相似多邊形的性質列比例式求解；②由題意可知縱向2塊矩形全等，橫向3塊矩形也全等，所以DN=b，然后分當FM是矩形DFMN的長時和當DF是矩形DFMN的長時兩種情況，根據相似多邊形的性質列比例式求解.

解：（1）∵點H是AD的中點，

∴AH=AD，

∵正方形AEOH∽正方形ABCD，

∴相似比為： ==；

故答案為：；

（2）在Rt△ABC中，AC=4，BC=3，根據勾股定理得，AB=5，

∴△ACD與△ABC相似的相似比為： =，

故答案為：；

（3）A、①∵矩形ABEF∽矩形FECD，

∴AF：AB=AB：AD，

即a：b=b：a，

∴a=b；

故答案為：

②每個小矩形都是全等的，則其邊長為b和a，

則b： a=a：b，

∴a=b；

故答案為：

B、①如圖2，

由①②可知縱向2塊矩形全等，橫向3塊矩形也全等，

∴DN=b，

Ⅰ、當FM是矩形DFMN的長時，

∵矩形FMND∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AD：AB，

即FD： b=a：b，

解得FD=a，

∴AF=a﹣a=a，

∴AG===a，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即a：b=b：a

得：a=b；

Ⅱ、當DF是矩形DFMN的長時，

∵矩形DFMN∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AB：AD

即FD： b=b：a

解得FD=，

∴AF=a﹣=，

∴AG==，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即：b=b：a，

得：a=b；

故答案為：或；

②如圖3，

由①②可知縱向m塊矩形全等，橫向n塊矩形也全等，

∴DN=b，

Ⅰ、當FM是矩形DFMN的長時，

∵矩形FMND∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AD：AB，

即FD： b=a：b，

解得FD=a，

∴AF=a﹣a，

∴AG===a，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即a：b=b：a

得：a=b；

Ⅱ、當DF是矩形DFMN的長時，

∵矩形DFMN∽矩形ABCD，

∴FD：DN=AB：AD

即FD： b=b：a

解得FD=，

∴AF=a﹣，

∴AG==，

∵矩形GABH∽矩形ABCD，

∴AG：AB=AB：AD

即：b=b：a，

得：a=b；

故答案為： b或b．