Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3過A（1，0），B（﹣3，0），直線AD交拋物線于點D，點D的橫坐標為﹣2，點P（m，n）是線段AD上的動點．

（1）求直線AD及拋物線的解析式；

（2）過點P的直線垂直于x軸，交拋物線于點Q，求線段PQ的長度l與m的關系式，m為何值時，PQ最長？

（3）在平面內是否存在整點（橫、縱坐標都為整數）R，使得P，Q，D，R為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點R的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）當m＝-時，PQ最長，最大值為；（3）R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．

【解析】

（1)根據待定系數法，可得拋物線的解析式；根據自變量與函數值的對應關系，可得D點坐標，再根據待定系數法，可得直線的解析式；

(2)根據平行于y軸直線上兩點間的距離是較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得二次函數，根據二次函數的性質，可得答案；

(3)根據PQ的長是正整數，可得PQ，根據平行四邊形的性質，對邊平行且相等，可得DR的長，根據點的坐標表示方法，可得答案

解：（1）將A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：

解得：

∴拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3，

當x＝﹣2時，y＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，

∴D（﹣2，﹣3），

設直線AD的解析式為y＝kx+b，將A（1，0），D（﹣2，﹣3）代入得：

解得：

∴直線AD的解析式為y＝x﹣1；

因此直線AD的解析式為y＝x﹣1，拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3．

（2）∵點P在直線AD上，Q拋物線上，P（m，n），

∴n＝m﹣1 Q（m，m2+2m﹣3）

∴PQ的長l＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

∴當m＝ 時，PQ的長l最大＝﹣（ ）2﹣（）+2＝ ．

答：線段PQ的長度l與m的關系式為：l＝﹣m2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）

當m＝時，PQ最長，最大值為．

（3）①若PQ為平行四邊形的一邊，則R一定在直線x＝﹣2上，如圖：

∵PQ的長為0＜PQ≤的整數，

∴PQ＝1或PQ＝2，

當PQ＝1時，則DR＝1，此時，在點D上方有R1（﹣2，﹣2），在點D下方有R2（﹣2，﹣4）；

當PQ＝2時，則DR＝2，此時，在點D上方有R3（﹣2，﹣1），在點D下方有R4（﹣2，﹣5）；

②若PQ為平行四邊形的一條對角線，則PQ與DR互相平分，此時R與點C重合，即R5（0，﹣3）

綜上所述，符合條件的點R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．

答：符合條件的點R共有5個，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）．