Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，E為⊙O上一點，C為弧BE的中點，過點C作AE的垂線，交AE的延長線于點D．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）連接EC，若AB＝10，AC＝8，求△ACE的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ACE的面積＝ ．

【解析】

（1）連接OC，由C為弧BE的中點，得到，求得∠CAD=∠BAC，根據等腰三角形的性質得到∠BAC=∠ACO，推出AD∥OC，根據平行線的性質得到OC⊥CD，于是得到CD是⊙O的切線；
（2）連接BC，根據圓周角定理得到∠ACB=90°，根據勾股定理得到BC=，根據相似三角形的性質和三角形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：連接OC，

∵C為弧BE的中點，

∴，

∴∠CAD＝∠BAC，

∵OA＝OC，

∴∠BAC＝∠ACO，

∴∠CAD＝∠ACO，

∴AD∥OC，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）解：連接BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AB＝10，AC＝8，

∴BC＝，

∵∠D＝∠ACB＝90°，

∠DAC＝∠CAB，

∴△ACD∽△ABC，

∴，

∴，

∴AD＝，CD＝，

∵

∴CE＝BC＝6，

∴DE＝，

∴AE＝AD﹣DE＝，

∴△ACE的面積＝AECD＝.