Question

【題目】閱讀下列一段文字，然后回答下列問題．

已知在平面內有兩點、，其兩點間的距離，同時，當兩點所在的直線在坐標軸或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時，兩點間距離公式可化簡為或.

（1）已知、，試求A、B兩點間的距離______.

已知M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4，點N的縱坐標為-1，試求M、N兩點的距離為______；

（2）已知一個三角形各頂點坐標為、、，你能判定此三角形的形狀嗎?說明理由．

（3）在（2）的條件下，平面直角坐標系中，在x軸上找一點P，使的長度最短，求出點P的坐標及的最短長度．

Answer 1

【答案】（1）13，5；（2）等腰直角三角形，理由見解析；（3）當P的坐標為（）時，PD+PF的長度最短，最短長度為.

【解析】

（1）根據閱讀材料中A和B的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出答案；由于M、N在平行于y軸的直線上，根據M和N的縱坐標利用公式即可求出MN的距離;

（2）由三個頂點的坐標分別求出DE，DF，EF的長，即可判定此三角形的形狀；

（3）作F關于x軸的對稱點，連接，與x軸交于點P，此時最短，最短距離為，P的坐標即為直線與x軸的交點.

解：（1）∵、

∴

故A、B兩點間的距離為：13.

∵M、N在平行于y軸的直線上，點M的縱坐標為4，點N的縱坐標為-1

∴

故M、N兩點的距離為5.

（2）∵、、

∴

∴DE=DF，

∴△DEF為等腰直角三角形

（3）

作F關于x軸的對稱點，連接，與x軸交于點P，此時DP+PF最短

設直線的解析式為y=kx+b

將D（1,6），（4，-2）代入得：

解得

∴直線的解析式為：

令y=0，解得，即P的坐標為（）

∵PF=

∴PD+PF=PD+==

故當P的坐標為（）時，PD+PF的長度最短，最短長度為.