Question

14．（1）問題發(fā)現(xiàn)：
如圖，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．
填空：①∠AEB的度數(shù)為60°；
②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是AD=BE．
（2）拓展探究：
如圖，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，且交BC于點(diǎn)F，連接BE．
①請判斷∠AEB的度數(shù)并說明理由；
②若∠CAF=∠BAF，BE=2，試求△ABF的面積．

Answer 1

分析 （1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點(diǎn)A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)；
（2）①仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)；②延長BE交AC的延長線于點(diǎn)G，推出△ACF≌△BCG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AF=BG，由于∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，求得E是BG的中點(diǎn)，求出AF=4，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）①如圖1，
∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等邊三角形，
∴∠CDE=∠CED=60°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=120°．
∴∠BEC=120°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=60°．
故答案為：60°．
②∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE．
故答案為：AD=BE；

（2）①∠AEB=90°
證明：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．
∴∠ACD=∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CB}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．
∵△DCE為等腰直角三角形，
∴∠CDE=∠CED=45°．
∵點(diǎn)A，D，E在同一直線上，
∴∠ADC=135°．
∴∠BEC=135°．
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°；
②延長BE交AC的延長線于點(diǎn)G，
由①可知∠CAD=∠CBE，∠AEB=90°，
在△ACF和△BCG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CAD=∠CBE}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCG=90°}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCG，
∴AF=BG，
∵∠CAF=∠BAF，∠AEB=90°，
∴E是BG的中點(diǎn)，
∵BE=2，
∴AF=4，
∴S_△ABF=$\frac{1}{2}×2×4$=4．

點(diǎn)評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．