Question

【題目】如圖1，點A、B分別在射線OM、ON上運動（不與點O重合），AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，BC延長線交OM于點G．

（1）若∠MON＝60°，則∠ACG＝ °；若∠MON＝90°，則∠ACG＝ °；

（2）若∠MON＝n°，請求出∠ACG的度數；（用含n的代數式表示）

（3）如圖2，若∠MON＝n°，過C作直線與AB交于F，若CF∥OA時，求∠BGO－∠ACF的度數．（用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）60°；45°；（2）90°－n；（3）90°－n．

【解析】

（1）根據三角形的內角和求出∠ABO+∠BAO的度數，再根據角平分線的定義及外角的性質即可得到∠ACG的度數；

（2）根據（1）中的結論即可求出答案；

（3）根據角平分線的性質，平行線的性質得到∠ACF=∠CAO=∠BAC，利用外角的性質得到∠BGO－∠ACF=∠ACG，由此得到答案.

（1）∵∠MON+∠ABO+∠BAO＝180°，

∴∠ABO+∠BAO=180°-∠MON，

∵AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線，

∴∠ABC=∠ABO，∠BAC=∠BAO，

當∠MON＝60°，

∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=60°，

當∠MON＝90°，

∠ACG=∠ABC+∠BAC=(∠ABO+∠BAO)=（180°-∠MON）=45°，

故答案為：60°，45°；

（2）由（1）知∠ACG=（180°-∠MON），

∵∠MON＝n°，

∴∠ACG=（180°-∠MON）=90°－n；

（3）∵AC平分∠BAO，

∴∠BAC=∠CAO

∵CF∥OA，

∴∠ACF=∠CAO=∠BAC，

∵∠BGO=∠ABG+∠BAO=∠ABG+2∠ACF,

∴∠BGO－∠ACF=∠ABG+2∠ACF-∠ACF=∠ABG+∠ACF=∠ABG+∠BAC=∠ACG,

∵∠MON＝n°時∠ACG=90°－n，

∴∠BGO－∠ACF=90°－n.