Question

4．如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E為AB的中點(diǎn)．連接CE，連接DE交AC于F，AD=4，AB=6．
（1）求證：△ADC∽△ACB；
（2）求AC的值；
（3）求$\frac{AC}{AF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可；
（2）根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式，計(jì)算即可；
（3）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半得到CE=AE，證明△AFD∽△CFE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可．

解答 （1）證明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB；
（2）解：∵△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AC}{AB}$，即AC²=AD•AB=24，
解得，AC=2$\sqrt{6}$；
（3）解：∵E為AB的中點(diǎn)，
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE，
∴∠EAC=∠ECA；
∵∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ECA，
∴CE∥AD；
∴△AFD∽△CFE，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{AF}{CF}$，
∵CE=$\frac{1}{2}$AB=3，AD=4，
∴$\frac{AF}{CF}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{AC}{AF}$=$\frac{7}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，牢固掌握直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．