Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，其中，，與軸交于點，拋物線的對稱軸交軸于點，直線經過點，，連接．

（1）求拋物線和直線的解析式：

（2）若拋物線上存在一點，使的面積是面積的2倍，求點的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使線段繞點順時針旋轉得到線段，且恰好落在拋物線上？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說叫理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2），；（3）存在，點的坐標為和．

【解析】

（1）先利用待定系數法求出拋物線的解析式，從而可求出點C的坐標，再利用待定系數法即可求出直線AC的解析式；

（2）先根據二次函數的性質可得，從而可得，再根據平行線的性質可知過點B作，與拋物線的交點即為其他符合條件的點P，然后聯立直線BE和拋物線的解析式求解即可得；

（3）分當點Q在x軸的上方和當點Q在x軸的下方兩種情況，再分別根據直角三角形的性質、三角形全等的判定定理與性質、二次函數的性質求解即可得．

（1）把，代入得

解得

∴拋物線的解析式為

當時，

∴點的坐標是

把，代入得

解得

∴直線的解析式為；

（2）∵

∴

如圖，過點作

由平行線的性質可知，直線BE上的點到AC的距離均相等

則直線BE上的任意一點與點A、C組成的三角形的面積均等于的面積，均為面積的2倍

設直線BE的解析式為

將點代入得，解得

則直線BE的解析式為

聯立，解得，

故符合條件的點的坐標為，；

（3）由題意，分以下兩種情況：

①當點Q在x軸的上方

設與對稱軸交點為

由可知，拋物線的對稱軸為

令代入得

∴坐標為

∴

∴

∴

∴即為所求

②當點Q在x軸的下方

如圖，過點作于點F

由旋轉的性質得：

在和中，

設，則

點的橫坐標為，縱坐標為，即

將代入得

解得或（不符題意，舍去）

即

的坐標為

綜上，點的坐標為和．