Question

【題目】為了迎接疫情徹底結束后的購物高峰，某運動品牌專賣店準備購進甲、乙兩種運動鞋．其中甲、乙兩種運動鞋的進價和售價如下表：

運動鞋價格	甲	乙
進價（元/雙）	m	m﹣20
售價（元/雙）	240	160

已知：用3000元購進甲種運動鞋的數量與用2400元購進乙種運動鞋的數量相同．

（1）求m的值；

（2）要使購進的甲、乙兩種運動鞋共200雙的總利潤（利潤＝售價﹣進價）不少于21700元，且甲種運動鞋的數量不超過100雙，問該專賣店共有幾種進貨方案？

（3）在（2）的條件下，專賣店準備對甲種運動鞋進行優惠促銷活動，決定對甲種運動鞋每雙優惠a（50＜a＜70）元出售，乙種運動鞋價格不變．那么該專賣店要獲得最大利潤應如何進貨？

Answer 1

【答案】（1）m＝100；（2）共有6種方案；（3）應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．

【解析】

（1）用總價除以單價表示出購進鞋的數量，根據兩種鞋的數量相等列出方程求解即可；

（2）設購進甲種運動鞋x雙，表示出乙種運動鞋（200﹣x）雙，然后根據總利潤列出一元一次不等式組，求出不等式組的解集后，再根據鞋的雙數是正整數解答；

（3）設總利潤為W，根據總利潤等于兩種鞋的利潤之和列式整理，然后根據一次函數的增減性分情況討論求解即可．

解：（1）依題意得，

＝，

整理得，3000（m﹣20）＝2400m，

解得m＝100，

經檢驗，m＝100是原分式方程的解，

所以，m＝100；

（2）設購進甲種運動鞋x雙，則乙種運動鞋（200﹣x）雙，

根據題意得，，

解得95≤x≤100，

∵x是正整數，

100﹣95+1＝6，

∴共有6種方案；

（3）設總利潤為W，則W＝（240﹣100﹣a）x+80×（200﹣x）＝（60﹣a）x+16000（95≤x≤100），

①當50＜a＜60時，60﹣a＞0，W隨x的增大而增大，

所以，當x＝100時，W有最大值，

即此時應購進甲種運動鞋100雙，購進乙種運動鞋100雙；

②當a＝60時，60﹣a＝0，W＝16000，（2）中所有方案獲利都一樣；

③當60＜a＜70時，60﹣a＜0，W隨x的增大而減小，

所以，當x＝95時，W有最大值，

即此時應購進甲種運動鞋95雙，購進乙種運動鞋105雙．