Question

【題目】已知OC是∠AOB內部的一條射線，M，N分別為OA，OC上的點，線段OM，ON同時分別以30°/s，10°/s的速度繞點O逆時針旋轉，設旋轉時間為t秒．

（1）如圖①，若∠AOB＝120°，當OM、ON逆時針旋轉到OM′、ON′處，

①若OM，ON旋轉時間t為2時，則∠BON′+∠COM′＝　　　°；

②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值；

（2）如圖②，若∠AOB＝4∠BOC，OM，ON分別在∠AOC，∠BOC內部旋轉時，請猜想∠COM與∠BON的數量關系，并說明理由．

（3）若∠AOC＝80°，OM，ON在旋轉的過程中，當∠MON＝20°，t＝　　　．

Answer 1

【答案】（1）①40°；②∠M′ON′＝60°；（2）∠COM＝3∠BON，理由見解析；（3）3秒或5秒．

【解析】

（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根據∠AOB=120°計算即可得解；

②先由角平分線求出∠AOM′=∠COM′=∠AOC，∠BON′=∠CON′=∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=∠AOB=×120°=60°，即∠M′ON′=60°；

（2）設旋轉時間為t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的關系，再整理即可得解；

（3）設旋轉時間為t，表示出∠CON、∠AOM，然后得到∠COM，再列方程求解得到∠MON的關系，整理即可得解．

解：（1）①∵線段OM、ON分別以30°/s、10°/s的速度繞點O逆時針旋轉2s，

∴∠AOM′＝2×30°＝60°，∠CON′＝2×10°＝20°，

∴∠BON′＝∠BOC﹣20°，∠COM′＝∠AOC﹣60°，

∴∠BON′+∠COM′＝∠BOC﹣20°+∠AOC﹣60°＝∠AOB﹣80°，

∵∠AOB＝120°，

∴∠BON′+∠COM′＝120°﹣80°＝40°；

故答案為：40°；

②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，

∴∠AOM′＝∠COM′＝∠AOC，∠BON′＝∠CON′＝∠BOC，

∴∠COM′+∠CON′＝∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝×120°＝60°，

即∠MON＝60°；

（2）∠COM＝3∠BON，理由如下：

設∠BOC＝X，則∠AOB＝4X，∠AOC＝3X，

∵旋轉t秒后，∠AOM＝30t，∠CON＝10t

∴∠COM＝3X﹣30t＝3（X﹣10t），∠NOB＝X﹣10t

∴∠COM＝3∠BON；

（3）設旋轉t秒后，∠AOM＝30t，∠CON＝10t，

∴∠COM＝80°﹣30t，∠NOC＝10t，

可得∠MON＝∠MOC+∠CON，

可得：|80°﹣30t+10t|＝20°，

解得：t＝3秒或t＝5秒，

故答案為：3秒或5秒．