Question

【題目】如圖，已知AC是⊙O的直徑，B為⊙O上一點，D為的中點，過D作EF∥BC交AB的延長線于點E，交AC的延長線于點F．

（Ⅰ）求證：EF為⊙O的切線；

（Ⅱ）若AB＝2，∠BDC＝2∠A，求的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（Ⅰ）連接OD，OB，只要證明OD⊥EF即可；

（Ⅱ）根據已知結合圓內接四邊形的性質得出∠A=60°，即可得出△OAB等邊三角形，再利用弧長公式計算得出答案．

（1）連接OD，OB，

∵D為的中點，

∴∠BOD＝∠COD，

∵OB＝OC，

∴OD⊥BC，

∴∠OGC＝90°，

∵EF∥BC，

∴∠ODF＝∠OGC＝90°，

即OD⊥EF，

∵OD是⊙O的半徑，

∴EF是⊙O的切線；

（2）∵四邊形ABDC是⊙O的內接四邊形，

∴∠A+∠BDC＝180°，

又∵∠BDC＝2∠A，

∴∠A+2∠A＝180°，

∴∠A＝60°，

∵OA＝OB，

∴△OAB 等邊三角形，

∵OB＝AB＝2，

又∵∠BOC＝2∠A＝120°，

∴EC＝．