Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l：y=﹣ x+ 分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，且∠ACB=30°．

（1）求A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線(xiàn)CB運(yùn)動(dòng)，連接AM，設(shè)△ABM的面積為S，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，求出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量的取值范圍．
（3）點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使以A，B，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y= ；當(dāng)y=0時(shí)，x=1．

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0， ），

在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB= ，

∴BC=2 ．

∴OC= =3．

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣3，0）．

（2）解：如圖1所示：

∵OA=1，OB= ，AB=2，

∴∠ABO=30°，

同理：BC=2 ，∠OCB=30°，

∴∠OBC=60°，

∴∠ABC=90°，

分兩種情況考慮：若M在線(xiàn)段BC上時(shí)，BC=2 ，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2 ﹣t，

此時(shí)S△ABM= BMAB= ×（2 ﹣t）×2=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；

若M在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BC=2 ，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2 ，

此時(shí)S△ABM= BMAB= ×（t﹣2 ）×2=t﹣2 （t≥2 ）；

綜上所述，S= ；

（3）解：P是y軸上的點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)Q，使以 A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，

如2圖所示，

當(dāng)P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標(biāo)相同，

此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，2），②AP=AQ= ，Q與A的橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1， ），

當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A橫坐標(biāo)相同，

此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此時(shí)Q坐標(biāo)為（﹣1，0），

綜上，滿(mǎn)足題意Q坐標(biāo)為（1，2）、（1，﹣2）、（1， ）、（﹣1，0）．

【解析】（1）直線(xiàn)y=- x+ 分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，當(dāng)x=0時(shí)，y= ；當(dāng)y=0時(shí)，x=1；所以點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0， ），在Rt△BOC中，∠OCB=30°，OB=，得到BC=2，得到 OC=3，即點(diǎn)C坐標(biāo)為（﹣3，0）；（2）OA=1，OB=，AB=2，得到∠ABO=30°，同理：BC=2 ，∠OCB=30°，得到∠OBC=60°，∠ABC=90°，分兩種情況考慮：若M在線(xiàn)段BC上時(shí)，BC=2，CM=t，可得BM=BC﹣CM=2 ﹣t，此時(shí)S△ABM=BMAB÷2=（2 ﹣t）×2÷2=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；若M在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，BC=2，CM=t，可得BM=CM﹣BC=t﹣2 ，此時(shí)S△ABM=BMAB÷2=（t﹣2）×2÷2=t﹣2（t≥2）；（3）當(dāng)P在y軸正半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A的橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，2），②AP=AQ= 2÷3 ，Q與A的橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1， 2÷3），當(dāng)P在y軸負(fù)半軸上，四邊形ABPQ為菱形，①可得AQ=AB=2，且Q與A橫坐標(biāo)相同，此時(shí)Q坐標(biāo)為（1，﹣2），②BP垂直平分AQ，此時(shí)Q坐標(biāo)為（﹣1，0），綜上，滿(mǎn)足題意Q坐標(biāo)為（1，2）、（1，﹣2）、（1， 2÷3 ）、（﹣1，0）．