Question

【題目】某公司生產一種新型生物醫藥產品，生產成本為2萬元/ 噸，每月生產能力為12噸，且生產出的產品都能銷售出去.這種產品部分內銷，另一部分外銷（出口），內銷與外銷的單價 （單位：萬元/噸）與銷量的關系分別如圖1，圖2.

（1）如果該公司內銷數量為x（單位：噸），內、外銷單價分別為y 1 , y 2 ,求, 關于x的函數解析式；
（2）如果該公司內銷數量為x（單位：噸），求內銷獲得的毛利潤 關于x的函數解析式；
（3）請設計一種銷售方案，使該公司本月能獲得最大毛利潤，并求出毛利潤的最大值.（毛利潤=銷售收入－生產成本）.

Answer 1

【答案】
（1）解：由圖1可得：當0≤x≤4時， y1=12，
當4<x≤12時，依題可設y1=kx+b，
由圖1可知y1過（4，12），（12，4）兩點，
∴，
∴，
∴ y1=x+16 ，
∴ y1=，
依題可設y2=cx+d，
由圖2可知y2過（0，8），（12，6）兩點，
∴，
∴，
∴y2=x+8（0x12），
（2）解：依題可得：
當 0≤x≤4 時， S1=(122)x=10x ；
當 4<x≤12 時， S1=(x+162)x=x2+14x；
∴S1=，
（3）解：設內銷產品為x噸，則外銷產品為（12-x）噸，外銷毛利潤為S2萬元，總利潤為W萬元，
∵ S2=（12-x）【-（12-x）+8-2】，
當 0≤x≤4 時，
∴W=S1+S2=10x-x2-2x+48
=x2+8x+48，
=-x2-2x+48，
=-（x-24）2+144，
∵a=-，x24,
∴W隨x的增大而增大，
∴當x=4時，W取得最大值，且Wmax=.
當 4x≤12 時，
W=S1+S2=x2+14x-x2-2x+48，
=x2+12x+48，
=-（x-）2+，
∵a=-，
∴當x=時，W取得最大值，且Wmax=.
∵ ，
綜上所述：當x=時，W取得最大值，且Wmax=.
∴當安排內銷噸，外銷噸時，該公司本月可以獲得最大毛利潤萬元.

【解析】（1）由圖1可知分0≤x≤4和4<x≤12 兩種情況，利用待定系數法即可求得y1解析式；由圖2利用待定系數法即可求得y2解析式.
（2）根據毛利潤=銷售收入－生產成本，由（1）求出的解析式分0≤x≤4和4<x≤12 兩種情況，即可求得.
（3）設內銷產品為x噸，則外銷產品為（12-x）噸，外銷毛利潤為S2萬元，總利潤為W萬元，根據（2）中的關系式列出S2的解析式，再分0≤x≤4和4<x≤12 兩種情況，由W=S1+S2求得二次函數解析式，依據二次函數的性質求出函數最值即可.