Question

【題目】如圖甲，拋物線y＝ax2+bx﹣1經過A(﹣1，0)，B(2，0)兩點，交y軸于點C．

(1)求拋物線的表達式和直線BC的表達式．

(2)如圖乙，點P為在第四象限內拋物線上的一個動點，過點P作x軸的垂線PE交直線BC于點D．

①在點P運動過程中，四邊形ACPB的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由．

②是否存在點P使得以點O，C，D為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2﹣x﹣1；y＝x﹣1；(2)①當x＝1時，S最大值為2；②點P坐標為(，)或(1，﹣1)或(，﹣)．

【解析】

(1)設：二次函數的表達式為：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，即可求解；

(2)①S四邊形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB，即可求解；②分CD＝OC、CD＝OD、OC＝OD三種情況分別求解即可．

解：(1)二次函數的表達式為：y＝a(x+1)(x﹣2)＝ax2﹣ax﹣2a，

即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣x﹣1，點C(0，﹣1)，

則直線BC的表達式為：y＝kx﹣1，

將點B的坐標代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，

故直線BC的表達式為：y＝x﹣1；

(2)①設點P(x， x2﹣x﹣1)，則點D(x， x﹣1)，

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB

＝×3×1+×2(x﹣1﹣x2+x+1)＝﹣x2+x+，

∵﹣<0，

故S有最大值，當x＝1時，S最大值為2；

②設點D坐標為(m， m﹣1)，

則CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+(m﹣1)2＝m2﹣m+1，

當CD＝OC時，m2+m2＝1，解得：m＝，

同理可得：

當CD＝OD時，m＝1，

當OC＝OD時，m＝，

則點P坐標為(，)或(1，﹣1)或(，﹣)．