Question

【題目】（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中點，E是AD的中點．過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．

（1）求證：△AEF≌△DEB；

（2）證明四邊形ADCF是菱形；

（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）證明詳見解析；（3）10．

【解析】

試題（1）由∠DBE=∠AFE，∠BED=∠FEA，ED=EA，根據“AAS”證得△BDE≌△FAE（AAS）；

（2）由全等可得AF=BD，即AF=DC，根據一組對邊平行且相等的四邊形的平行四邊形證得四邊形ADCF是平行四邊形，又鄰邊AD=DC，所以四邊形四邊形ADCF是菱形；

（3）解法一：連接DF，證得四邊形ABDF是平行四邊形，從而得到對角線DF的長，利用菱形的對角線長求面積；

解法二：利用Rt△ABC的面積求得BC邊上的高，即得到菱形ADCF中DC邊上的高，利用平行四邊形的面積公式求菱形的面積．

試題解析：（1）證明：在Rt△ABC中，∠BAC=，D是BC的中點，

∴AD=BC=DC=BD，

∵AF∥BC，

∴∠DBE=∠AFE，

又∵E是AD中點，

∴ED=EA，

又∠BED=∠FEA，

∴△BDE≌△FAE（AAS）；

（2）證明：由（1）知AF=BD，即AF=DC，

∴AF∥DC，AF=DC，

∴四邊形ADCF是平行四邊形，

又∵AD=DC，

∴四邊形ADCF是菱形；

（3）解：（解法一）連接DF，

∵AFDC，BD=CD，

∴AFBD，

∴四邊形ABDF是平行四邊形，

∴DF=AB=5，

∴；

（解法二）在Rt△ABC中，AC=4，AB=5，

∴BC=，

設BC邊上的高為，

則，

∴，

∴．