Question

【題目】如圖，是以為直徑的上的一點，于點，過點作的切線，與的延長線相交于點，點是的中點，連結交于點

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）若，且的半徑長為，求．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）要證AF是⊙O的切線，就是要證明∠FAO=90°，連接AB，根據BE是⊙O的切線和直角三角形的等量代換，就可得出結論；

（2）根據切線判定知道EB⊥BC，而AD⊥BC，從而可以確定AD∥BE，那么△BFC∽△DGC，又點F是EB的中點，就可得出結論；

（3）點F作FH⊥AD于點H，根據前兩問的結論，利用三角形的相似性和勾股定理，可以求出BD的長度．

（1）證明：連結，

∵是的直徑，

∴．

∵是斜邊的中點，

∴，

∴，

又∵，

∴

∵是的切線，

∴

∵

∴是的切線；

（2）證明：∵是的直徑，是的切線，

∴．

又∵，

∴，

∴，，

∴，，

∴，

∵是斜邊的中點，

∴，

∴；

（3）解：過點作于點，

∵，，

∴．

由（2），知，

∴．

由已知，有，

∴，即是等腰三角形．

∵，

∴，

∵，

∴，

即，

∵，，，

∴四邊形是矩形，，

∵，易證，

∴，

即．

∵的半徑長為，

∴．

∴，

解得．

∴．