Question

【題目】在平面直角坐標系中，點 A（﹣2，0），B（2，0），C（0，2），點 D，點E分別是 AC，BC的中點，將△CDE繞點C逆時針旋轉得到△CD′E′，及旋轉角為α，連接 AD′，BE′．

（1）如圖①，若 0°＜α＜90°，當 AD′∥CE′時，求α的大小；

（2）如圖②，若 90°＜α＜180°，當點 D′落在線段 BE′上時，求 sin∠CBE′的值；

（3）若直線AD′與直線BE′相交于點P，求點P的橫坐標m的取值范圍（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）；（3）﹣≤m≤．

【解析】試題分析：(1)如圖1中，根據平行線的性質可得∠AD′C=∠E′CD′=90°，再根據AC=2CD′，推出∠CAD′=30°，由此即可解決問題； (2)如圖2中，作CK⊥BE′于K．根據勾股定理和等腰直角三角形的性質求出CK的長，再根據sin∠CBE′= ，即可解決問題；(3)根據圖3、圖4分別求出點P橫坐標的最大值以及最小值即可解決問題.

試題解析：

（1）如圖1中，

∵AD′∥CE′，

∴∠AD′C=∠E′CD′=90°，

∵AC=2CD′，

∴∠CAD′=30°，

∴∠ACD′=90°﹣∠CAD′=60°，

∴α=60°．

（2）如圖2中，作CK⊥BE′于K．

∵AC=BC= =2 ，

∴CD′=CE′= ，

∵△CD′E′是等腰直角三角形，CD′=CE′= ，

∴D′E′=2，

∵CK⊥D′E′，

∴KD′=E′K，

∴CK= D′E′=1，

∴sin∠CBE′= = = ．

（3）如圖3中，以C為圓心為半徑作⊙C，當BE′與⊙C相切時AP最長，則四邊形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

∵AP=AD′+PD′= + ，

∵cos∠PAB= = ，

∴AH=2+ ，

∴點P橫坐標的最大值為．

如圖4中，當BE′與⊙C相切時AP最短，則四邊形CD′PE′是正方形，作PH⊥AB于H．

根據對稱性可知OH= ，

∴點P橫坐標的最小值為﹣，

∴點P橫坐標的取值范圍為﹣≤m≤．