Question

【題目】在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．點P是平面內不與A，C重合的任意一點，連接AP，將線段AP繞點P逆時針旋轉α得到線段DP，連接AD，CP．點M是AB的中點，點N是AD的中點．

（1）問題發現：如圖1，當α＝60°時，的值是　 　，直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數是　 　．

（2）類比探究：如圖2，當α＝120°時，請寫出的值及直線MN與直線PC相交所成的較小角的度數，并就圖2的情形說明理由．

（3）解決問題：如圖3，當α＝90°時，若點E是CB的中點，點P在直線ME上，請直接寫出點B，P，D在同一條直線上時的值．

Answer 1

【答案】（1），60°；（2），30°，見解析；（3）當點P在線段BD上時， ，當點P在DB延長線上時,＝2+．

【解析】

（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．證明△PAC≌△DAB（SAS），利用全等三角形的性質以及三角形的中位線定理即可解決問題．

（2）如圖設MN交AC于F，延長MN交PC于E．證明△ACP∽△AMN，推出∠ACP＝∠AMN，可得結論．

（3）分兩種情形分別畫出圖形，利用三角形中位線定理即可解決問題．

解：（1）如圖1中，連接PC，BD，延長BD交PC于K，交AC于G．

∵CA＝CB，∠ACB＝60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB，

∴∠PAC＝∠DAB，

∵AP＝AD，

∴△PAC≌△DAB（SAS），

∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，

∵AN＝ND，AM＝BM，

∴BD＝2MN，

∴．

∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA，

∴∠CKG＝∠BAG＝60°，

∴BK與PC的較小的夾角為60°，

∵MN∥BK，

∴MN與PC較小的夾角為60°．

故答案為，60°．

（2）如圖設MN交AC于F，延長MN交PC于E．

∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°，

∴△PAD∽△CAB，

∴，

∵AM＝MB，AN＝ND，

∴，

∴△ACP∽△AMN，

∴∠ACP＝∠AMN， ，

∵∠CFE＝∠AFM，

∴∠FEC＝∠FAM＝30°．

（3）設MN＝a，由（2）得，

∵∠ACB＝90°，△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AM

∴，

∴PC＝a，

∵ME是△ABC的中位線，∠ACB＝90°，

∴ME是線段BC的中垂線，

∴PB＝PC＝a，

∵MN是△ADB的中位線，

∴DB＝2MN＝2a，

如圖3﹣1中，當點P在線段BD上時，PD＝DB﹣PB＝（2﹣）a，

∴．

如圖3﹣2中，當點P在DB延長線上時,PD＝DB+PB＝（2+）a，

∴＝2+．