Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．點是射線上一點，過點作直線，與軸右側的拋物線交于點．點從點出發，沿射線以每秒1個單位長度的速度向右運動，設點運動的時間為t秒．請解答下列問題：

(1)求直線AC的表達式與點的坐標；

(2)在點運動的過程中，若以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求運動的時間；

(3)設點與點關于直線對稱，

①點的坐標為 (用含的代數式表示，結果需化簡)；

②當點落在拋物線的對稱軸上且點在線段上時，在平面內是否存在點F，使得以點，，，F為頂點的四邊形為菱形?若存在，請求出此時點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，C (0，2)； (2) 點C的坐標為(0，2) ；(3) ①(，)或(，)；②(，)

【解析】

(1)先求得點A、B、C的坐標，利用待定系數法即可求解；

(2)分類討論，當Q在軸上方或下方時，利用,求得QD的長即可求解；

(3)①分類討論，當P在點B的左側或右側時，利用,即可求解；

②先求得點的坐標，再求得t的值，利用菱形的性質即可求解．

(1)令，則，

解得：，

∴點A、B的坐標分別為(-1，0)、(5，0)，

令，則，

∴點C的坐標為(0，2)，

設直線AC的解析式為，

將點A的坐標(-1，0)代入得，

解得：，

∴直線AC的解析式為；

(2)如圖，當Q在軸上方時，作QD⊥AB于D，

∵ACQP為平行四邊形，

∴CQ∥AP，

∴CO=QD=2，

∴點Q的縱坐標為2，

∴，

解得：，

∴點Q的坐標為，

∴AP=CQ=4，

∴運動的時間為4秒時，ACQP為平行四邊形；

如圖，當Q在軸下方時，作QD⊥AB于D，

∵ACPQ為平行四邊形，

∴PQ=AC，PQ∥AC，

∴∠CAO=∠QPD，

∴,

∴CO=QD=2，PD=AO=1，

∴點Q的縱坐標為-2，

∴，

解得：(不合題意，舍去)，

∴點Q的坐標為，

∴OD=，

∴，

∴運動的時間為秒時，ACPQ為平行四邊形；

綜上，當運動的時間為或秒時，A、C、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形；

(3)①連接PD，過D作DE⊥AB于E，BD交PQ于G，

∵點A、C的坐標分別為(-1，0)、(0，2)，

∴AO=1，CO=2，

∴，

∵BD關于直線對稱，AP=t，

∴BP=PD=AB-AP=6-t，PQ⊥BD，BG=DG，

∵PQ∥AC，

∴∠CAO=∠BPG，

∴

∴，即，

∴，則，

∵

∴∠ACO=∠PBG，

∴

∴，即，

∴，，

∴，

∴點的坐標為(，)，

當P在點B的右側時，如圖，

同理可得，，

∴，

此時，點的坐標為(，)，

綜上，點的坐標為(，)或(，)；

②存在，理由如下：

由①知PQ⊥BD，BG=DG，

∵四邊形BPDF為菱形，

∴DF=BP，DF∥BP，

拋物線的對稱軸為，

∵點在對稱軸上，且點在線段上，如圖：

∴，

解得：，

∴，

∴點的坐標為(，)，，

∴點F的坐標為(，)，即(，)．