Question

【題目】請完成下面題目的證明．如圖,AB為⊙O的直徑,AB=8,點C和點D是⊙O上關于直線AB對稱的兩個點,連接OC,AC,且∠BOC<90°,直線BC與直線AD相交于點E,過點C作直線CG與線段AB的延長線相交于點F,與直線AD相交于點G,且∠GAF=∠GCE

(1)求證:直線CG為⊙O的切線；

(2)若點H為線段OB上一點,連接CH,滿足CB=CH；

①求證:△CBH∽△OBC；

②求OH+HC的最大值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析;②5

【解析】

（1）由題意可知：∠CAB=∠GAF，∠GAF=∠GCE，由圓的性質可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，從而可證明直線CG是⊙O的切線；

（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易證∠CBH=∠OCB，

從而可證明△CBH∽△OBC；

②由△CBH∽△OBC可知：

，所以HB=，

由于BC=HC，所以OH+HC=

利用二次函數的性質即可求出OH+HC的最大值．

（1）由題意可知：∠CAB=∠GAF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°

∵OA=OC，

∴∠CAB=∠OCA，

∴∠OCA+∠OCB=90°，

∵∠GAF=∠GCE，

∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，

∵OC是⊙O的半徑，

∴直線CG是⊙O的切線；

（2）①∵CB=CH，

∴∠CBH=∠CHB，

∵OB=OC，

∴∠CBH=∠OCB，

∴△CBH∽△OBC

②由△CBH∽△OBC可知：

∵AB=8，

∴BC2=HBOC=4HB，

∴HB=，

∴OH=OB-HB=

∵CB=CH，

∴OH+HC=

當∠BOC=90°，

此時BC=

∵∠BOC＜90°，

∴0＜BC＜

令BC=x

∴OH+HC== =

當x=2時，

∴OH+HC可取得最大值，最大值為5