Question

【題目】閱讀理解題：學習了二次根式后，你會發現一些含有根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2＝（1+）2，我們來進行以下的探索：

設a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整數），則有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，這樣就得出了把類似a+b的式子化為平方式的方法，請仿照上述方法探索并解決下列問題：

（1）當a，b，m，n都為正整數時，若a+b＝（m+n）2，用含m，n的式子分別表示a，b，得a＝　 　，b＝　 　．

（2）若a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都為正整數，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）m2+5n2，2mn （2）21或9

【解析】

（1）利用完全平方公式展開得到（m+n）2＝m2+5n2+2mn，而a，b，m，n都是正整數，則利用無理數和有理數的意義得到a＝m2+5n2，b＝2mn；

（2）利用（1）的方法得到﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2，再利用m，n都為正整數得到m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，然后計算對應的a的值即可．

解：（1）（m+n）2＝m2+5n2+2mn，

∴a＝m2+5n2，b＝2mn；

故答案為m2+5n2，b＝2mn；

（2）∵a﹣4＝（m﹣n）2，

∴a﹣4＝m2+5n2﹣2mn，

∴﹣2mn＝﹣4，a＝m2+5n2，

∵a，m，n都為正整數，

而mn＝2，

∴當m＝1時，n＝2，此時a＝12+5×22＝21；

當m＝2時，n＝1，此時a＝22+5×12＝9；

綜上所述，a的值為21或9．