Question

【題目】如圖，以矩形ABCD的邊CD為直徑作⊙O，點E是AB 的中點，連接CE交⊙O于點F，連接AF并延長交BC于點H．

（1）若連接AO，試判斷四邊形AECO的形狀，并說明理由；

（2）求證：AH是⊙O的切線；

（3）若AB＝6，CH＝2，則AH的長為 ．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據矩形的性質得到AE∥OC，AE＝OC即可證明；

（2）根據平行四邊形的性質得到∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC，再根據等腰三角形的性質得到∠OCF＝∠OFC．故可得∠AOD＝∠AOF，利用SAS證明△AOD≌△AOF，由ADO＝90°得到AH⊥OF，即可證明；

（3）根據切線長定理可得AD=AF,CH=FH=2,設AD=x,則AF=x,AH=x+2,BH=x-2，再利用在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,代入即可求x,即可得到AH的長.

（1）解：連接AO，四邊形AECO是平行四邊形．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD．

∵E是AB的中點，

∴AE＝AB．

∵CD是⊙O的直徑，

∴OC＝CD．∴AE∥OC，AE＝OC．

∴四邊形AECO為平行四邊形．

（2）證明：由（1）得，四邊形AECO為平行四邊形，

∴AO∥EC

∴∠AOD＝∠OCF，∠AOF＝∠OFC．

∵OF＝OC

∴∠OCF＝∠OFC．

∴∠AOD＝∠AOF．

∵在△AOD和△AOF中，AO＝AO，∠AOD＝∠AOF，OD＝OF

∴△AOD≌△AOF．

∴∠ADO＝∠AFO．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ADO＝90°．

∴∠AFO＝90°，即AH⊥OF．

∵點F在⊙O上，

∴AH是⊙O的切線．

（3）∵HC、FH為圓O的切線，AD、AF是圓O的切線

∴AD=AF,CH=FH=2,

設AD=x,則AF=x,AH=x+2,BH=x-2，

在Rt△ABH中，AH2=AB2+BH2,

即（x+2）2=62+（x-2）2,

解得x=

∴AH=+2=.