Question

【題目】如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（）和B（4，6），點(diǎn)P是線段AB上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)C為拋物線頂點(diǎn)的時(shí)候，求的面積.

（3）是否存在質(zhì)疑的點(diǎn)P，使的面積有最大值，若存在，求出這個(gè)最大值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）存在，（m為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)）當(dāng)m=時(shí)，

【解析】

（1）把A、B坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，求出a、b，即可求得解析式；

（2）根據(jù)第（1）問(wèn)求出的函數(shù)解析式可得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)C、P兩點(diǎn)橫坐標(biāo)一樣可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)，將△BCE的面積分成△PCE與△PCB，以PC為底，即可求出△BCE的面積.

（3）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，m+2），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，），表示出PC的長(zhǎng)度，根據(jù)，構(gòu)造二次函數(shù)，然后求出二次函數(shù)的最大值，并求出此時(shí)m的值即可.

解：(1)∵A()和B(4,6)在拋物線y=ax2+bx+6上，

∴

解得：，

∴拋物線的解析式；

（2）∵二次函數(shù)解析式為，

∴頂點(diǎn)C坐標(biāo)為，

∵PC⊥x，點(diǎn)P在直線y=x+2上，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

∴PC=6；

∵點(diǎn)E為直線y=x+2與x軸的交點(diǎn)，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為

∵ =

∴.

（3）存在.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，

∵

∴

∵,

∴函數(shù)開(kāi)口向下，有最大值

∴當(dāng)時(shí)，△ABC的面積有最大值為.