Question

【題目】拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0），B（3，0），與y軸交于點C．點D（xD，yD）為拋物線上一個動點，其中1＜xD＜3．連接AC，BC，DB，DC．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍時，求點D的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點M是x軸上一動點，點N是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點M，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）點D坐標（2，3）；（3）M坐標（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）

【解析】

（1）利用待定系數法求函數解析式；

（2）根據解析式先求出△AOC的面積，設點D（xD，yD），由直線BC的解析式表示點E的坐標，求出DE的長，再由△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍，列出關于xD 的方程得到點D的坐標；

（3）設點M（m，0），點N（x，y），分兩種情況討論：當BD為邊時或BD為對角線時，列中點關系式解答.

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經過點A（﹣1，0），B（3，0），

∴，

解得：

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖，過點D作DH⊥x軸，與直線BC交于點E，

∵拋物線y＝﹣x2+2x+3，與y軸交于點C，

∴點C（0，3），

∴OC＝3，

∴S△AOC＝×1×3＝，

∵點B（3，0），點C（0，3）

∴直線BC解析式為y＝﹣x+3，

∵點D（xD，yD），

∴點E（xD，﹣xD+3），yD＝﹣xD2+2xD+3，

∴DE＝﹣xD2+2xD+3﹣（﹣xD+3）＝﹣xD2+3xD，

∴S△BCD＝3＝×DE×3，

∵△BCD的面積等于△AOC的面積的2倍

∴2＝﹣xD2+3xD，

∴xD＝1（舍去），xD＝2，

∴點D坐標（2，3）；

（3）設點M（m，0），點N（x，y）

當BD為邊，四邊形BDNM是平行四邊形，

∴BN與DM互相平分，

∴，

∴y＝3，

∴3＝﹣x2+2x+3

∴x＝2（不合題意），x＝0

∴點N（0，3）

∴，

∴m＝1，

當BD為邊，四邊形BDMN是平行四邊形，

∴BM與DN互相平分，

∴，

∴y＝﹣3，

∴﹣3＝﹣x2+2x+3

∴x＝1±，

∴，

∴m＝±，

當BD為對角線，

∴BD中點坐標（，），

∴， ，

∴y＝3，

∴3＝﹣x2+2x+3

∴x＝2（不合題意），x＝0

∴點N（0，3）

∴m＝5，

綜上所述點M坐標（1，0）或（，0）或（﹣，0）或（5，0）．