Question

【題目】閱讀材料：我們知道，在四邊形ABCD中，當對角線，若，時，

（1）則四邊形ABCD的面積為 ；

小凱遇到一個問題：如圖1，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，，，，求四邊形ABCD的面積。

小凱發現，如圖2分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足分別為點E，F，設AO為m，通過計算與的面積和使問題得以解決。

請回答：

（2）的面積為 （用含m的式子表示）

（3）求四邊形ABCD的面積。

參考小凱思考問題的方法，解決問題：如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，，，（），則四邊形ABCD的面積為 （用含a，b，的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）12；（2）；（3）；解決問題：.

【解析】

(1) 設AC與BD的垂足為O，根據三角形的面積公式得到S△ABC= ACOC，S△ADC=ACOD，兩式相加得到S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=ACOC+ACOD=ACBD，然后把AC=4，BD=6代入計算即可;

(2)首先得出AE的長，再利用三角形的面積公式求出即可；
(3)根據直角三角形的性質可得AE=m，再根據三角形的面積公式可得S△ABD=BDAE＝m，同理再表示CF= (4m)，然后再表示△BCD的面積，再求兩個三角形的面積和可得答案；解決問題：方法類似.

(1) 設AC與BD的垂足為O，如圖所示：

∴S△ABC=ACOB，S△ADC=ACOD，
∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ADC=ACOB+ACOD=ACBD，
而AC=4，BD=6，
∴S四邊形ABCD=46=12．
故答案是：12．

(2)∵AO=m，∠AOB=30°，
∴AE=m，
∴△ABD的面積為：×m×6=m；
故答案為：m；

(3),

∵，,

∴,

∴,

同理：,

∴,

∴;

解決問題：分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足分別為點E，F，設,

∵，,

∴,

∴,

同理：,

∴,

∴.