Question

已知二次函數y=x²-2mx+m²-1．
（1）當二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0）時，求二次函數的解析式；
（2）如圖，當m=2時，該拋物線與y軸交于點C，頂點為D，求C、D兩點的坐標；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點P，使得PC+PD最短？若P點存在，求出P點的坐標；若P點不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根據m=2，代入求出二次函數解析式，進而利用配方法求出頂點坐標以及圖象與y軸交點即可；
（3）根據當P、C、D共線時PC+PD最短，利用平行線分線段成比例定理得出PO的長即可得出答案．
解答：解：（1）∵二次函數的圖象經過坐標原點O（0，0），
∴代入二次函數y=x²-2mx+m²-1，得出：m²-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函數的解析式為：y=x²-2x或y=x²+2x；

（2）∵m=2，
∴二次函數y=x²-2mx+m²-1得：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點為：D（2，-1），
當x=0時，y=3，
∴C點坐標為：（0，3）；

（3）當P、C、D共線時PC+PD最短，
過點D作DE⊥y軸于點E，
∵PO∥DE，
∴=，
∴=，
解得：PO=，
∴PC+PD最短時，P點的坐標為：P（，0）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及配方法求二次函數頂點坐標以及最短路線問題等知識，根據數形結合得出是解題關鍵．