Question

22、已知二次函數y=x²+mx+m-5，
（1）求證：不論m取何值時，拋物線總與x軸有兩個交點；
（2）求當m取何值時，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短．

Answer 1

分析：（1）根據a²-4ab與0的大小關系來判斷二次函數與x軸交點的個數，即m²-4（m-5）是否大于0，算出其取值范圍即可；
（2）設函數與x軸兩個交點的值為x₁，x₂，且x₂＞x₁，然后可根據函數兩個值的和等于m，兩個值的積等于m-5算出x₂-x₁的值，最后求出其最小值即可．

解答：解：（1）根據a²-4ab與0的大小關系來判斷二次函數與x軸交點的個數，
即m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16＞0，
所以拋物線總與x軸有兩個交點；

（2）設函數與x軸兩個交點的值為x₁，x₂，且x₂＞x₁，
x₁+x₂=m，且x₁•x₂=m-5，
所以（x₂-x₁）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=m²-4（m-5）=m²-4m+20=（m-2）²+16，
所以當m=2時，x₂-x₁有最小值4，
所以，拋物線與x軸兩交點之間的距離最短為4．

點評：本題主要考查對于a²-4ab與0的等量關系來判斷二次函數與x軸交點的個數的判定，以及對于二次函數性質的掌握．