Question

【題目】如圖，二次函數的圖象與軸交于兩點，點位于、之間，與軸交于點，對稱軸為直線，直線與拋物線交于兩點，點在軸上方且橫坐標小于5，則下列結論：①；②；③（其中為任意實數）；④，其中正確的是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用拋物線與y軸的交點位置得到c>0，利用對稱軸方程得到x= =2，則4a+b+c=c>0，于是可對①進行判斷；點位于、之間，利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點(1,0)右側，則當x=1時，y<0，于是可對②進行判斷；根據二次函數的性質得到x=2時，二次函數有最大值，則ax2+bx+c4a+2b+c，于是可對③進行判斷；由于直線y=x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C、D兩點，D點在x軸上方且橫坐標小于5，利用函數圖象得x=5時，一次函數值比二次函數值大，即25a+5b+c<5+c，然后把b=4a代入解a的不等式，則可對④進行判斷．

解：∵拋物線與y軸交于正半軸，

∴c>0．
∵拋物線的對稱軸為直線x==2，∴b=4a，
∴4a+b+c=4a4a+c=c>0，故①正確．
∵當x=5時，y<0，且拋物線的對稱軸為直線x=2，
∴當x=1時，y<0，∴ab+c<0，故②正確．
∵當x=2時，二次函數有最大值，

∴ax2+bx+c4a+2b+c，
∴ax2+bx4a+2b即x(ax+b)4a+2b，故③錯誤．
∵直線y=x+c與拋物線y=ax2+bx+c交于C，D兩點，D點在x軸上方且橫坐標小于5，
∴當x=5時，二次函數值小于一次函數值，即25a+5b+c<5+c，而b=4a，
∴25a20a<5，解得a<1，故④正確．
故選C．