Question

【題目】數學課上,李老師出示了如下的題目：如圖1，在等邊中，點在上，點在的延長線上，且，試確定線段與的大小關系，并說明理由，

（1）小敏與同桌小聰探究解答的思路如下：

①特殊情況，探索結論，

當點為的中點時，如圖2，確定線段與的大小關系，請你直接寫出結論：______．(填>，<或=)

②特例啟發，解答題目，

解：題目中，與的大小關系是：______．(填>，<或=)

理由如下：如圖3，過點作，交于點，(請你補充完成解答過程)

（2）拓展結論，設計新題，

同學小敏解答后，提出了新的問題：在等邊中，點在直線上，點在直線上，且，已知的邊長為，求的長?(請直接寫出結果)

Answer 1

【答案】（1）①AE=DB；②=；理由見解析；（2）2或4．

【解析】

（1）①根據等邊三角形性質和等腰三角形的性質求出=求出DB=BE，進而得出AE=DB即可；

②根據題意結合平行線性質利用全等三角形的判定證得△BDE≌△FEC，求出AE=EF進而得到AE=DB即可；

（2）根據題意分兩種情況討論，一種是點在線段上另一種是點在線段的反向延長線上進行分析即可.

解：（1）①∵為等邊三角形，點為的中點，

∴, ,

∵,

∴,得出,即有,

∴,

∴AE=DB.

②AE=DB，理由如下：

作EF//BC，交AB于E，AC于F，

∵EF//BC，

∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACF=60°，∠1=∠2，

∴∠4=∠5=120°，

∵EC=ED，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠3，

在△BDE和△FEC中，，

∴△BDE≌△FEC，

∴DB=EF，

∵∠A=∠AEF=∠AFE=60°，

∴△AEF為等邊三角形，

∴AE=EF，

∴AE=DB．

(2)第一種情況：

假設點在線段上，并作EF//BC，交AB于E，AC于F，如圖所示：

根據②可知AE=DB，

∵在等邊中，的邊長為，

∴AE=DB=1,

∴;

第二種情況：

假設點在線段的反向延長線上，如圖所示：

根據②的結論可知AE=DB，

∵在等邊中，的邊長為，

∴；

綜上所述CD的長為2或4．