Question

【題目】（1）問題發現

如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，=1，點P是邊BC上一動點（不與點B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，連接 CD．

（1）①求的值；②求∠ACD的度數．

（2）拓展探究

如圖 2，在Rt△ABC中，∠A=90°，=k．點P是邊BC上一動點（不與點B重合），∠PAD=90°，∠APD=∠B，連接CD，請判斷∠ACD與∠B 的數量關系以及PB與CD之間的數量關系，并說明理由．

（3）解決問題

如圖 3，在△ABC中，∠B=45°，AB=4，BC=12，P 是邊BC上一動點（不與點B重合），∠PAD=∠BAC，∠APD=∠B，連接CD．若 PA=5，請直接寫出CD的長．

Answer 1

【答案】（1）1，45°；（2）∠ACD=∠B， =k；（3）.

【解析】

（1）根據已知條件推出△ABP≌△ACD，根據全等三角形的性質得到PB=CD，∠ACD=∠B=45°，于是得到

根據已知條件得到△ABC∽△APD，由相似三角形的性質得到，得到 ABP∽△CAD，根據相似三角形的性質得到結論；

過A作AH⊥BC 于 H，得到△ABH 是等腰直角三角形，求得 AH=BH=4， 根據勾股定理得到根據相似三角形的性質得到 ，推出△ABP∽△CAD，根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）∵∠A=90°，

∴AB=AC，

∴∠B=45°，

∵∠PAD=90°，∠APD=∠B=45°，

∴AP=AD，

∴∠BAP=∠CAD，

在△ABP 與△ACD 中，

AB=AC, ∠BAP=∠CAD，AP=AD,

∴△ABP≌△ACD，

∴PB=CD，∠ACD=∠B=45°，

∴=1，

（2）

∵∠BAC=∠PAD=90°，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD=90°，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴∠ACD=∠B，

（3）過 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，

∴△ABH 是等腰直角三角形，

∵

∴AH=BH=4，

∵BC=12，

∴CH=8，

∴

∴PH==3，

∴PB=1，

∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∴,

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴即

∴

過 A 作 AH⊥BC 于 H，

∵∠B=45°，

∴△ABH 是等腰直角三角形，

∵

∴AH=BH=4，

∵BC=12，

∴CH=8，

∴

∴PH==3，

∴PB=7，

∵∠BAC=∠PAD=，∠B=∠APD，

∴△ABC∽△APD，

∴，

∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAD，

∴∠BAP=∠CAD，

∴△ABP∽△CAD，

∴即

∴