Question

【題目】利用“同角的余角相等”可以幫助我們得到相等的角，這個規律在全等三角形的判定中有著廣泛的運用．

（1）如圖①，，，三點共線，于點，于點，，且．若，求的長．

（2）如圖②，在平面直角坐標系中，為等腰直角三角形，直角頂點的坐標為，點的坐標為．求直線與軸的交點坐標．

（3）如圖③，，平分，若點坐標為，點坐標為．則 ．（只需寫出結果，用含，的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）6；（2）（0,2）；（3）

【解析】

（1）利用AAS證出△ABC≌△CDE，根據全等三角形的性質可得AB=CD，BC=DE，再根據BD=CD＋BC等量代換即可求出BD；

（2）過點A作AD⊥x軸于D，過點B作BE⊥x軸于E，利用AAS證出△ADC≌△CEB，根據全等三角形的性質可得AD=CE，CD=BE，根據點A和點C的坐標即可求出點B的坐標，然后利用待定系數法求出直線AB的解析式，即可求出直線AB與y軸的交點坐標；

（3）過點C作CD⊥y軸于D，CE⊥x軸于E，根據正方形的判定可得四邊形OECD是正方形，然后利用ASA證出△DCA≌△ECB，從而得出DA=EB，S△DCA=S△ECB，然后利用正方形的邊長相等即可求出a、b表示出DA和正方形的邊長OD，然后根據即可推出=，最后求正方形的面積即可．

解：（1）∵，，

∴∠ABC=∠CDE=∠ACE=90°

∴∠A＋∠ACB=90°，∠ECD＋∠ACB=180°－∠ACE=90°

∴∠A=∠ECD

在△ABC和△CDE中

∴△ABC≌△CDE

∴AB=CD，BC=DE

∴BD=CD＋BC=

（2）過點A作AD⊥x軸于D，過點B作BE⊥x軸于E

∵△ABC為等腰直角三角形

∴∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，AC=CB

∴∠DAC＋∠ACD=90°，∠ECB＋∠ACD=180°－∠ACB=90°

∴∠DAC =∠ECB

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB

∴AD=CE，CD=BE

∵點的坐標為，點的坐標為

∴CO=1，AD=1，DO=2,

∴OE=OC＋CE= OC＋AD=2，BE=CD=CO＋DO=3，

∴點B的坐標為（2,3）

設直線AB的解析式為y=kx＋b

將A、B兩點的坐標代入，得

解得：

∴直線AB的解析式為

當x=0時，解得y=2

∴直線與軸的交點坐標為（0,2）；

（3）過點C作CD⊥y軸于D，CE⊥x軸于E

∵OC平分∠AOB

∴CD=CE

∴四邊形OECD是正方形

∴∠DCE=90°，OD=OE

∵∠ACB=90°

∴∠DCA＋∠ACE=∠ECB＋∠ACE=90°

∴∠DCA=∠ECB

在△DCA和△ECB中

∴△DCA≌△ECB

∴DA=EB，S△DCA=S△ECB

∵點坐標為，點坐標為

∴OB=b，OA=a

∵OD=OE

∴OA＋DA=OB－BE

即a＋DA=b－DA

∴DA=

∴OD= OA＋DA=

=

=

= DA2

=

=

故答案為：．