Question

【題目】規定兩數之間的一種運算，記作（）；如果，那么（），例如因為，所以（2，8）=3.

（1）根據上述規定，填空：（4，16）= ，（7，1）= ，（ ，81）=4.

（2）小明在研究這種運算時發現一個現象，（,）=（3，4），小明給出了如下的證明：

設（,），所以，即，所以，

即（3，4），所以（,）=（3，4），請你嘗試運用這種方法解決下列問題：

①證明：（6，45）-（6，9）=（6，5）

②猜想：（,）+（,）=（ ， ）（結果化成最簡形式）

Answer 1

【答案】（1）2，0，；（2）①見解析；②.

【解析】

（1）根據規定的兩數之間的運算法則解答；

（2）①根據同底數冪的乘法法則，結合定義證明；

②根據例題和①中證明的式子作為公式進行變形即可．

解：（1）因為42=16，所以【4，16】=2．

因為70=1，所以【7，1】=0．

因為(±3)4=81，所以【±3，81】=4．

故答案為：2，0，±3；

（2）①證明：設【6，9】=x，【6，5】=y，則6x=9，6y=5，

∴5×9=45=6x6y=6x+y，

∴【6，45】=x+y，

則：【6，45】=【6，9】+【6，5】，

∴【6，45】-【6，9】=【6，5】；

②∵【3n，4n】=【3，4】，

∴【（x+1）m，（y-1）m】

=【（x+1），（y-1）】，【（x+1）n，（y-2）n】

=【（x+1），（y-2）】，

∴【（x+1）m，（y-1）m】+【（x+1）n，（y-2）n】，

=【（x+1），（y-1）】+【（x+1），（y-2）】，

=【（x+1），（y-1）（y-2）】，

=【（x+1），（y2-3y+2）】．

故答案為：（x+1），（y2-3y+2）．