Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的O交BC于D，點E為AC的中點，連接DE．

(1)求證：DE是O的切線；

(2)若∠BAD=50°，AC=6,CD=4,求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD,DA，利用直角三角形的性質證明，利用等腰三角形的性質可得結論；

（2）證明△ADC∽△BAC，求解圓的半徑，利用S陰影＝S四邊形OAED－S扇形AOD可得答案．

解：（1）連接OD,DA

∵AB是O的直徑，

∴∠BDA=∠CDA=90°

∵點E是AC的中點

∴在Rt△ACD中，DE=AE,

∴∠EDA=∠DAE

∵OD=OA

∴∠OAD=∠ODA

又∵∠BAC=90°

∴∠EDA+∠ODA=∠DAE+∠OAD=90°

即∠ODE=90°

∴OD⊥DE

又∵點D在O上

∴DE是O的切線·

（2）由題知∠ADC=∠BAC=90°，∠C=∠C

∴△ADC∽△BAC

∴，即

∴BC=9

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=

∴OA=，

連接

S四邊形OAED

∵OA=OD,DE=AE=3

∴S四邊形OAED

又∵弧BD所對圓周角為50°

∴∠BOD=100°，則∠AOD=80°

∴S扇形AOD

∴S陰影＝S四邊形OAED－S扇形AOD