Question

已知：如圖，等腰梯形ABCD的邊BC在x軸上，點A在y軸的正方向上，A（0，6），D（4，6），且AB=2

10

．
（1）求點B的坐標；
（2）求經過A、B、D三點的拋物線的解析式；
（3）點C是不是也在（2）中的拋物線上，若在請證明，若不在請說明理由；
（4）在（2）中所求的拋物線上是否存在一點P，使得S△PBC=

1

2

S梯形ABCD？若存在，請求出該點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據勾股定理求出BO即可；
（2）把A、B、D的坐標代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；
（3）求出C的坐標，把C的坐標代入拋物線的解析式看左、右兩邊是否相等即可；
（4）過點D作DE⊥X軸于點E，根據勾股定理求出DE，求出BC，根據梯形面積公式求出梯形的面積，求出△PBC的面積，設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，求出P的縱坐標，代入拋物線求出P的橫坐標即可．

解答：解：（1）在Rt△ABO中，AB=2

10

，AO=6，
∴BO=

AB2-OA2

=2，
∵點B在x軸的負半軸上，
∴B（-2，0），
答：點B的坐標是（-2，0）．

（2）設經過A、B、D三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
代入得：

c=6 4a-2b+6=0 16a+4b+6=6

解這個方程組得：

a=- 1 2 b=2 c=6

，
∴y=-

1

2

x²+2x+6．
答：經過A、B、D三點的拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+2x+6．

（3）由題意，得點C的坐標為（6，0），
∵-

1

2

×62+2×6+6=0，
∴點C在拋物線y=-

1

2

x²+2x+6上．

（4）∵A（0，6），D（4，6），
∴AD=4，
過點D作DE⊥X軸于點E，則四邊形DEOA是矩形，有DE=OA=6，AD=OE=4，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=2

10

，
由勾股定理得：CE=

DC2-DE2

=

(2 10 )2-62

=2，
∴OC=2+4=6，
∴C（6，0），
∵B（-2，0），
∴BC=8，
∴梯形ABCD的面積是

1

2

×（4+8）×6=36，
∵S△PBC=

1

2

S梯形ABCD，
∴S_△PBC=18，
設點P的坐標為（x，y），則△PBC的BC邊上的高為|y|，
∴

1

2

×8×|y|=18，
∴y=±

9

2

，
∴P的坐標是P₁（x，

9

2

），P₂（x，-

9

2

），
代入拋物線得：-

1

2

x²+2x+6=-

9

2

，
∴x₁=-3，x₂=7，
點P₁的坐標為（-3，-

9

2

），（7，-

9

2

），
同理可求得：點P₂的坐標為（2+

7

，

9

2

），（2-

7

，

9

2

）．
答：點P的坐標是（-3，-

9

2

），（7，-

9

2

），（2+

7

，

9

2

），（2-

7

，

9

2

）．

點評：本題主要考查對二次函數圖象上點的坐標特征，平行四邊形的性質和判定，三角形的面積，等腰梯形的性質，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．