Question

已知，如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，對角線AC⊥BD于O，BC=13

2

，如果AB=a，CD=b，a+b=34，則a=

24

b=

10

．

Answer 1

分析：過C作CE∥DB交AB的延長線于E，作CF⊥AE，從而構建了平行四邊形DCEB，則把AB+CD轉化到AE邊上，然后利用等腰直角三角形的性質求解．

解答：解：過C作CE∥DB交AB的延長線于E，作CF⊥AE，
∵BD⊥AC，
∴CE⊥AC，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∵AB∥CD，CE∥DB，
∴四邊形DBEC是平行四邊形
∴BE=CD，
∴AE=AB+BE=AB+CD=34，
∵CE⊥AC，AC=BD=CE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴△ACF、△ECF是等腰直角三角形，
∴CF=AF=EF=

1

2

×34=17，
在Rt△CBF中，根據勾股定理得：
BF=

BC2-CF2

=

(13 2 )2-172

=7，
∵BF=

1

2

（AB-CD）=7，
∴AB-CD=14，又AB+CD=34，
∴AB=24CD=10，即a=24，b=10．
故答案為：24，10．

點評：本題考查的是等腰題型的性質、等腰直角三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線，構造出平行四邊形是解答此題的關鍵．