Question

閱讀材料：如圖在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為P．
求證：S_{四邊形ABCD}=

1

2

AC•BD．
證明：AC⊥BD?

S△ACD= 1 2 AC•PD S△ABC= 1 2 AC•BP

∴S_{四邊形ABCD}=S_△ACD+S_△ACB=

1

2

AC•PD+

1

2

AC•BP
=

1

2

AC（PD+PB）=

1

2

AC•B D
解答問題：
（1）上述證明得到的性質可敘述為

 

；
（2）已知：如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD且相交于點P，AD=3cm，BC=7cm，利用上述的性質求梯形的面積．

Answer 1

分析：本題的關鍵是求出AC，BD的長，可過A，D分別作BC的垂線AE，DF，在直角三角形BFD中，可根據兩底的差求出BE，CF的長，也就求出了BF，CE的長，要求BD還需知道直角三角形中一個銳角的度數，可通過全等三角形ACB和DBC得出∠DBC=∠ACB=45°，由此可得出BD，AC的長，進而根據題目給出的面積計算方法求出梯形的面積．

解答：解：（1）敘述：對角線互相垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半；

（2）方法一：
∵四邊形ABCD為等腰梯形，
∵BD=AC，AB=CD，BC=BC
∴△ABC≌△DBC
∴∠ACB=∠DBC=45°，
在直角三角形BPC中，∠DBC=45°，BP=

1 2 BC

cos∠DBC

=

1 2 BC

cos45°

=

1 2 BC

2 2

=

2

2

BC=

7  2

2

，
同理可得PD=

3  2

2

，BD=BP+PD=5

2

．
又等腰梯形對角線相等，即BD=AC=5

2

cm
∴S_梯形=

1

2

•BD•AC=25（cm²）；
方法二：作DE∥AC交BC延長線于點E，作DM⊥BC于點M，
∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∴AC=BD，
∵AD∥CE，AC∥DE，
∴四邊形ACDE是平行四邊形，
∴AC=DE=BD，AD=CE，
∵對角線AC⊥BD且相交于點P，
∴∠BDE=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵AD=3cm，BC=7cm，
∴BE=10cm，
∴DM=5cm，
∴S_梯形=

1

2

•MD•BE=25（cm²）．

點評：本題主要考查了等腰梯形性質的應用，根據等腰梯形的性質得出∠DBC等于45°是解題的關鍵．