Question

17．如圖，△ABC的內切圓O與各邊分別相切于點D，E，F，那么下列敘述錯誤的是（　�。�

• A． 點O是△ABC的三條角平分線的交點
• B． 點O是△DEF的三條中線的交點
• C． 點O是△DEF的三條邊的垂直平分線的交點
• D． △DEF一定是銳角三角形

Answer 1

分析 根據切線的性質得到OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，根據同圓的半徑相等得到OD=OE=OF，于是得到點O是△ABC的三條角平分線的交點，根據外接圓的圓心的性質得到點O是△DEF的三條邊的垂直平分線的交點，根據四邊形的內角和和圓周角定理得到DEF是銳角三角形．

解答 解：連接OD，OE，OF，
∵△ABC的內切圓O與各邊分別相切于點D，E，F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，
∵OD=OE=OF，
∴點O是△ABC的三條角平分線的交點，
∵⊙O是△DEF的外接圓，
∴點O是△DEF的三條邊的垂直平分線的交點，
∵∠ADO=∠AFO=90°，
∴∠A+∠DOF=180°，
∴∠DOF=180°-∠A，
∴∠DEF=$\frac{1}{2}$∠DOF=90°-$\frac{1}{2}∠$A，
∴∠DEF是銳角，同理∠EDF與∠DFE是銳角，
∴△DEF是銳角三角形，
故選B．

點評 此題主要考查了三角形的內心與外心的性質；三角形的內心：三條角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等；三角形的外心：三邊中垂線的交點，到三角形三個頂點的距離相等．