Question

【題目】如圖，∠ECF＝90°，線段 AB 的端點分別在 CE 和 CF 上，BD 平分∠CBA，并與∠CAB 的外角平分線 AG 所在的直線交于一點 D．

（1）∠D 與∠C 有怎樣的數量關系？（直接寫出關系及大小）

（2）點 A 在射線 CE 上運動，（不與點 C 重合）時，其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？說說你的理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析．

【解析】

（1）根據角平分線的性質、外角的性質、三角形內角和定理整理即可得出答案；

（2）根據（1）中結論即可推理得出答案．

（1）∠C＝2∠D 即：∠D＝45°．

∵BD平分∠CBA，AG平分∠EAB，∴∠EAB＝2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA．

∵∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠BAC+∠ABC＝90°，即180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得出∠GAB﹣∠DBA＝45°，∴∠D∠C＝45°；

（2）當A在射線CE上運動（不與點C重合）時，其它條件不變，（1）中結論還成立．

∵∠CAB+∠ABC＝∠C＝90°，不論A在CE上如何運動，只要不與C點重合，這個關系式都是不變的，整理這個式子：∠CAB＝180°﹣2∠GAB，∠ABC＝2∠DBA，得：180°﹣2∠GAB+2∠DBA＝90°，整理得：∠GAB﹣∠DBA＝45度，恒定不變，即：∠D＝45°的結論不變，∴∠C＝2∠D恒成立．