Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCD是平行四邊形，OB=OC=2，AB=.

(1)求點D的坐標，直線CD的函數表達式；

(2)已知點P是直線CD上一點，當點P滿足S△PAO=S△ABO時，求點P的坐標；

(3)若點M在平面直角坐標系內，則在直線AB上是否存在點F（不與A、B重合），使以A、 C、 F、M為頂點的四邊形為菱形?若存在，直接寫出F點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（4，3），；（2）P（3，）或（-3，）；（3）F（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）.

【解析】

（1）先求出A點坐標，然后根據菱形的性質得到D點的坐標，利用C，D兩點的坐標求出解析式；

（2）利用點P是直線CD上一點，AO為△PAO的底邊不變，并且S△PAO=S△ABO，分兩種情況討論即可；

（3）根據菱形的性質，分AC、AF是鄰邊，AC、AF是鄰邊，AC是對角線，AF是對角線四種的情況分別進行求解計算．

解：∵OB=OC=2，AB=，

∴AD=OB+OC=2+2=4，

，

∴A點的坐標為：（0，3），

D點的坐標為：（4，3），

C點的坐標為：（2，0），

設直線CD的函數表達式為：，

∴將C，D點的坐標代入，得：

，解之得：，

∴直線CD的函數表達式為：，

（2）

如圖示：∵

∴

設P點坐標為（，）

即：，

∴，

則：，或

∴，或

即P點坐標為（，）或（-3，）；

（3） ∵由（1）得OB=OC=2，AB=，OA=3，

∴AC=，

①當AC、AF是鄰邊時，如圖示，

AF=AC=，即點F與B重合，

∴F的坐標為（-3，0），
②當AC、AF是鄰邊，如圖示，

M在直線AD上，且FC垂直平分AM，C，F沿AD成軸對稱，
則F的坐標為：（2，6），

③AC是對角線時，如圖示：

作AC垂直平分線FE，

∵AC經過A（0，3），C（2，0），

∴AC解析式為：，并且E點的坐標為（1，），

∵，

∴設FE的解析式為：，將E點坐標，代入化簡得：

FE的解析式為：

又∵AB經過A（0，3），B（-2，0），

∴AB解析式為：，

∴Ｆ點的坐標為方程組 的解，

解之得： ,

∴則F的坐標為：（，）,

④AF是對角線時，如圖示：

過C作AB垂線，垂足為N，

則

∵，

∴，

∴，，

設F點的橫坐標為，根據F點在AB上，并AB解析式為：，

∴F的坐標為：（，）,

則根據勾股定理，有：

∴，，

∴

∴F的坐標為：（，）

綜上所述，F點的坐標為：（-3，0）或（2，6）或（，）或（，）