Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，函數y=的圖像與x、y軸分別交于點A、B.以AB為直徑作M.

（1）求AB的長；

（2）點D是M上任意一點，且點D在直線AB上方，過點D作DH⊥AB，垂足為H，連接BD.

①當△BDH中有一個角等于BAO兩倍時，求點D的坐標；

②當DBH=45°時，求點D的坐標.

Answer 1

【答案】（1）AB=4；（2）①（，3）；D(-2)；②D（）.

【解析】

（1）根據一次函數的解析式求出A,B兩點的坐標，再利用勾股定理即可求出AB的長；（2）①連接OM，由OM為Rt△AOB斜邊AB上中線，證得△OBM為等邊三角形，則∠OBM=60°,得到∠BAO=30°，再分∠DBH=2∠BAO=60°時與∠BDH=2∠BAO=60°時兩種情況分別討論求解；②當∠DBH=45°時，易得∠DAB=45°，則AH=DH=BH,所以M、H重合，作DC⊥y軸于C，DE⊥x軸于E，易證△DCB≌△DEA,得CB=AE，設CB=AE=a，則DC=OE=2，因為BD=,由勾股定理得，DC2+CB2=DB2,所以，求出a的值，再根據題意舍去一個，即可求解.

解：（1）對于y=，

當x=0時，y=2；當y=0時，x=-2.

所以點A(-2，B（0,2），

所以OB=2,OA=2.根據勾股定理得，AB==4.

（2）①連接OM.

因為OM為Rt△AOB斜邊AB上中線，

所以OM=AM=BM=AB=2=OB,

所以△OBM為等邊三角形，則∠OBM=60°,

故∠BAO=30°.

1）如圖，當∠DBH=2∠BAO=60°時，

連接DM，并延長交AO于點N.

∵∠DBH=60°，DM=BM,

∴△BDM為等邊三角形，

∴∠DMB =60°，

故∠AMN=∠DMB =60°，

所以∠MNA=180-30°-60°=90°，

所以MN⊥AO,即DN⊥AO，

∴ON=AO=

DN=DM+MN=BM+AM=AB+AB=3，

所以D（，3）；

2）如圖，

當∠BDH=2∠BAO=60°時，

∵DM=BM=AM=OM，

∴四邊形BDAO為矩形，

可得，DA=BO=2,BD=OA=2.

所以D(-2).

②如圖，

當∠DBH=45°時，

∵AH=BH,DM⊥AB，∴△ABD為等腰直角三角形，

∴∠DAB=45°，

則AH=DH=BH,所以M、H重合.

作DC⊥y軸于C，DE⊥x軸于E，

∵DE⊥AO,DC⊥CO，

∴∠ADE+∠EDB=90°，又∠EDB+∠BDC=90°，

∴∠ADE=∠BDC

又AD=BD,

∴△DCB≌△DEA（AAS）,得CB=AE，

設CB=AE=a，則DC=OE=2，

因為BD=,

由勾股定理得，DC2+CB2=DB2,

所以，

解得a=，

當a=時，OC=DE=3+>4，不符合題意.

當a=時，OC=OE=,所以D（）