Question

【題目】△ABC中，CA＝CB，AB＝，CD⊥AB于點D，CD＝5，點O和點E在線段CD上，ED＝1，點P在邊AB上，以E為圓心，EP為半徑的圓與AB邊的另一個交點為點Q（點P在點Q的左側），以O為圓心，OC為半徑的圓O恰好經過P、Q兩點，聯結CP，設線段AP的長度為x．

（1）當圓E恰好經過點O時，求圓E的半徑；

（2）聯結CQ，設∠PCQ的正切值為y，求y與x的函數關系式及定義域；

（3）若∠PED＝3∠PCE，求S△PCQ的值．

Answer 1

【答案】（1）﹣5；（2）y＝ （＜x＜）；（3）

【解析】

（1）連接OP，設⊙E的半徑為r，根據OP2﹣OD2＝PE2﹣DE2列出方程即可求出結論；

（2）連接OQ，根據等邊對等角可得∠OCQ＝∠OQC，然后即可證出∠PCQ＝∠DOQ，根據勾股定理即可推出m和x的關系，最后根據銳角三角函數即可求出y與x的函數關系式；

（3）連接CQ，OP，過點O作OH⊥CP于H，作CG⊥PE于G，根據相似三角形判定分別證出△EPO∽△ECP，△CHO∽△CDP，設OC＝OP＝m，根據相似三角形的性質列出比例式即可求出m的值，從而求出PQ和CD，即可求出結論．

解：（1）如圖1，連接OP，設⊙E的半徑為r，則PE＝OE＝r，OP＝OC＝4﹣r，OD＝r+1，

∵CD⊥AB，

∴OP2﹣OD2＝PE2﹣DE2，

即（4﹣r）2﹣（r+1）2＝r2﹣12，

解得（舍去），，

∴圓E的半徑r＝﹣5．

（2）如圖2，連接OQ，

∵OQ＝OC，

∴∠OCQ＝∠OQC

∵∠DOQ＝∠OCQ+∠OQC

∴∠DOQ＝2∠OCQ

∵∠PCD＝∠QCD

∴∠PCQ＝2∠QCD

∴∠PCQ＝∠DOQ

設OC＝OQ＝m，則OD＝5﹣m，

由勾股定理得DQ2＝m2﹣（5﹣m）2＝10m﹣25，

由題知：AP＝x，

∴DQ＝﹣x，

∴OD＝5﹣m＝﹣，

∴y＝tan∠PCQ＝tan∠DOQ＝＝＝

∵

∴＜x＜，

∴y與x的函數關系式為 y＝（＜x＜）．

（3）如圖3，連接CQ，OP，過點O作OH⊥CP于H，作CG⊥PE于G，

∵OC＝OP，

∴∠PCE＝∠OPC，CH＝CP

∵∠PED＝3∠PCE，

∴∠OPE＝∠OPC＝∠PCE，

∴△EPO∽△ECP，OH＝OG，

設OC＝OP＝m，

∵∠CHO＝∠CDP＝90°，

∴△CHO∽△CDP

∴，即

∴CP2＝10m，CP＝，PD2＝10m﹣25，PE2＝10m﹣24，

∵，

即

∴，

解得：m1＝0（舍去），，

∴PD＝＝，PQ＝2PD＝

∴＝．