Question

【題目】在平面直角坐標系 xOy 中，已知拋物線y= x2 -2px+q．

（1）當p=2 時，

①拋物線的頂點坐標橫坐標為____ ___，縱坐標為__________(用含 q 的式子表示)；

②若點 A（-1，y1），B（x2，y2 ）都在拋物線上，且y2 >y1，令x2 = m，則 m的取值范圍是_____________；

（2）已知點 M（3，2），將點 M 向左平移 5 個單位長度，得到點 N．當q=6 時，若拋物線與線段 MN 恰有一個公共點，結合函數圖象，求 p 的取值范圍為_____________．

Answer 1

【答案】（1）①2，q- 4；②m1或m 5；（2）p≤-2 或p=2或．

【解析】

（1）①將P的值代入，將函數解析式改寫為頂點式，即可求解. ②由對稱軸為x=2,可得x=-1與x=5的函數值相等，數形結合可知當y2 >y1時，x2的取值范圍，即m的范圍為x2 1或x2 5

（2）由于線段MN//x軸，滿足線段MN與拋物線只有一個交點，通過數形結合，分線段MN的左，右端點在拋物線上和拋物線的頂點在線段上三種情況，分別得到關于P的方程求解即可.

（1）①∵ p=2 ，

∴拋物線為y=x2 - 4x+q= (x- 2)2 +q- 4 ．

∴頂點的坐標為（ 2，q- 4）．

②

由對稱軸為x=2,由圖可知，當x=-1與x=5的函數值相等，點A（-1，y1）, B（x2，y2 ）, 要使y2 >y1，則點B應在點A的左上方或在點的右上方，故有x21或 x25；而x2 = m，所以m的取值范圍為m1或m 5.

（2）∵點M（3，2）向左平移 5 個單位得到點N，

∴點N的坐標為（-2 ，2）．

∵q= 6 ，

∴拋物線為y=x2 -2px+ 6 ．

當拋物線經過點M（3，2）時， 2 = 32 - 6p+ 6 ，解得p．

當拋物線經過點N（-2 ，2）時， 2 = (-2)2 + 4 p+ 6 ，解得 p=-2 ．

當拋物線的頂點在線段PQ上時，6 - p2 = 2 ，解得p=±2 ．

滿足線段MN與拋物線只有一個交點，結合圖象可知，m的取值范圍是p≤-2 或p=2或．