Question

【題目】某公司銷售一種進價為20元/個的計算器，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：

價格x（元/個）	…	30	40	50	60	…
銷售量y（萬個）	…	5	4	3	2	…

同時，銷售過程中的其他開支（不含進價）總計40萬元．

（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．

（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬元）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？

（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？

Answer 1

【答案】（1） y=x+8

（2） z=x2+10x﹣200，銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元

（3）40≤x≤60；銷售價格應定為40元/個

【解析】

（1）根據數據得出y與x是一次函數關系，進而利用待定系數法求一次函數解析式．

（2）根據z=（x﹣20）y﹣40得出z與x的函數關系式，應用二次函數最值原理求解即可．

（3）首先求出40=（x﹣50）2+50時x的值，從而二次函數的性質根據得出x（元/個）的取值范圍，結合一次函數的性質即可求得結果．

解：（1）根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，設解析式為：y=ax+b，

則，解得：．

∴函數解析式為：y=x+8．

（2）根據題意得：

z=（x﹣20）y﹣40=（x﹣20）（x+8）﹣40=x2+10x﹣200=（x2﹣100x）﹣200

=[（x﹣50）2﹣2500]﹣200=（x﹣50）2+50，

∵＜0，∴x=50，z最大=50．

∴該公司銷售這種計算器的凈得利潤z與銷售價格x的函數解析式為z=x2+10x﹣200，銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元．

（3）當公司要求凈得利潤為40萬元時，即（x﹣50）2+50=40，解得：x1=40，x2=60．

作函數圖象的草圖，

通過觀察函數y=（x﹣50）2+50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60．

而y與x的函數關系式為：y=x+8，y隨x的增大而減少，

∴若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個．