Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=2AC, 點D在BC上，且∠CAD=∠B，點E是AB的中點，聯結CE與AD交于點G,點F在BC上，且∠CEF=∠BAC.

(1)若∠BAC=90°,如圖1,求證: EG+ EF=AC;

(2)若∠BAC=120°,如圖2,請猜想線段EG，EF和AC之間的數量關系并證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2），證明見解析

【解析】

（1）首先根據∠BAC=90°, ∠CEF=∠BAC得出∠CEF=90°，進而得出∠AEC+∠BEF=90°，又由AB=2AC, 點E是AB的中點，得出AC=AE=BE，進而得出∠ACE=∠AEC=45°，CE=，∠BEF=45°，再由∠CAD=∠B，得出∠B+∠ACB=∠CAD+∠ACB=90°，進而得出∠ADC=90°，即可判定△ACG≌△BEF，得出CG=EF，即可得出EG+ EF=AC；

（2）首先過點A作AH⊥EC，由∠BAC=120°, ∠CEF=∠BAC，得出∠CEF=120°，進而得出∠AEC+∠BEF=60°，又由AB=2AC, 點E是AB的中點，得出AC=AE=BE，進而得出∠ACE=∠AEC=30°，∠BEF=30°，可判定△ACG≌△BEF，得出CG=EF，又由AH⊥EC，得出EH=CH=EC=，即可得出.

（1）∵∠BAC=90°, ∠CEF=∠BAC

∴∠CEF=90°

∴∠AEC+∠BEF=90°

又∵AB=2AC, 點E是AB的中點，

∴AC=AE=BE

∴∠ACE=∠AEC=45°，CE=

∴∠BEF=45°

又∵∠CAD=∠B，

∴∠B+∠ACB=∠CAD+∠ACB=90°

∴∠ADC=90°

在△ACG和△BEF中，

∴△ACG≌△BEF（ASA）

∴CG=EF

∴EG+ EF=AC

（2）

過點A作AH⊥EC，交CE于點H，如圖所示

∵∠BAC=120°, ∠CEF=∠BAC

∴∠CEF=120°

∴∠AEC+∠BEF=60°

又∵AB=2AC, 點E是AB的中點，

∴AC=AE=BE

∴∠ACE=∠AEC=30°，

∴∠BEF=30°

在△ACG和△BEF中，

∴△ACG≌△BEF（ASA）

∴CG=EF

又∵AH⊥EC，

∴EH=CH=EC=

∴