Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=9，AC=6，BC=12，點M在AB邊上，且AM=3，過點M作直線MN與AC邊交于點N，使截得的三角形與原三角形相似，則MN=__．

Answer 1

【答案】4或6．

【解析】作出圖形，然后分①點N在AC上，分AM和AB與AC是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可；②點N在BC上，求出BM，再分BM和AB與BC是對應邊，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解：如圖所示，

①點N在AC上，若AM和AB是對應邊，
∵△AMN∽△ABC，
∴，即，
解得MN=4，
若AM和AC是對應邊，
∵△AMN∽△ACB，
∴，即，
解得MN=6；
②點N在BC上，BM=AB-AM=9-3=6，
若BM和AB是對應邊，
∵△MBN∽△ABC，
∴，即，
解得MN=4，
若BM和BC是對應邊，
∵△NBM∽△ABC，
∴，即，
解得MN=3，
綜上所述，MN的長為3或4或6．

“點睛”本題考查了相似三角形的判定，主要利用了相似三角形的對應邊成比例，難點在于分情況討論，作出圖形更形象直觀．